LOGARITIMO E FUNÇÃO LOGARITIMICA

O mundo da Matemática- PATO DONALD

PARTE 1

PARTE-2

PARTE-3

Conexões matemáticas entre os quadrados mágicos e as potências de expoente inteiro

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog, por serem um objecto de recreação matemática propício ao estabelecimento de múltiplas conexões matemáticas. No presente artigo pretendo conectar um desse tipo de figuras (os quadrados de ordem 3) ao tema das potências de expoente inteiro.

Comecemos por analisar as seguintes figuras:

Analisando-se cada uma delas constata-se que são formadas por nove números inteiros consecutivos, iniciando a da esquerda no 1, a do meio no 2 e a da direita no 3. Adicionando-se os três valores de cada linha, cada coluna e cada diagonal, a soma é sempre a mesma em cada figura: na da esquerda há uma soma mágica de 15, na do meio a soma mágica é 18 e na da direita a soma mágica é 21.

Existe, pois, um padrão numérico que relaciona as várias somas mágicas que se vão obtendo, a partir do menor número de cada sequência numérica utilizada. De facto, para o início em 1, a soma é 15; para o início em 2, a soma é 15 + 1 x 3; para o início em 3, a soma mágica é 15 + 2 x 3 e assim sucessivamente.

Seria interessante, em contexto de sala de aula de matemática, que os alunos fossem incentivados a investigar esta e outras regularidades existentes nestas mágicas figuras, chegando mesmo à lei geral que permite identificar ou prever uma qualquer soma mágica (s) a partir de um qualquer número inteiro (n) que inicie uma sequência de nove números inteiros consecutivos. Essa lei seria a seguinte s = 15 + (n - 1) x 3.

Observando com atenção as três figuras acima, facilmente se constata que a disposição do valor ordinal de cada um dos nove números obedece a uma mesma distribuição geométrica que é a seguinte:

Ora, tendo em conta esta mesma disposição geométrica, analisemos agora a seguinte figura. será um quadrado mágico?:

Obviamente que salta à vista não tratar-se de uma quadrado de soma mágica, pois os valores são muito díspares; não são consecutivos. Contudo se em vez de os adicionarmos em linha, em coluna ou em diagonal, os multiplicarmos, teremos uma bela surpresa.

De facto:

2 x 256 x 8 = 4096

64 x 16 x 4 = 4096

32 + 1 x 128 = 4096

2 x 64 x 32 = 4096

256 x 16 x 1 = 4096

8 x 4 x 128 = 4096

2 x 16 x 128 = 4096

8 x 16 x 32 = 4096

O produto mágico é, pois, 4096. Analisando os nove números em causa verifica-se serem as primeiras nove potências de base 2. Vejamos:

Em sala de aula, e dependendo do tipo de alunos, poder-se-ia introduzir a regra da multiplicação de potências com a mesma base e expoentes diferentes (mantém-se a base e adicionam-se os expoentes). De facto:

2¹ x 2⁸ x 2³ = 2¹²

2⁶ x 2⁴ x 2² = 2¹²
2⁵ x 2⁰ x 2⁷ = 2¹²

2¹ x 2⁶ x 2⁵ = 2¹²
2⁸ x 2⁴ x 2⁰ = 2¹²
2³ x 2² x 2⁷ = 2¹²

2¹ x 2⁴ x 2⁷ = 2¹²
2³ x 2⁴ x 2⁵ = 2¹²

Passemos agora às potências de base 3. Eis a figura com as nove primeiras potências de base 3:

Note-se que esta figura obedece ao mesmo padrão multiplicativo anterior:

3¹ x3⁸ x 3³ = 3¹²

3⁶ x 3⁴ x 3² = 3¹²
3⁵ x 3⁰ x 3⁷ = 3¹²

3¹ x 3⁶ x 3⁵ = 3¹²
3⁸ x 3⁴ x 3⁰ = 3¹²
3³ x 3² x 3⁷ = 3¹²

3¹ x 3⁴ x 3⁷ = 3¹²
3³ x 3⁴ x 3⁵ = 3¹²

Com os respectivos valores das potências, o aspecto da figura será o seguinte:

Calculemos, pois, o respectivo produto mágico:

3 x 6561 x 27 =531441

729 x 81 x 9 = 531441

243 x 1 x 2187 = 531441

3 x 729 x 243 = 531441

6561 x 81 x 1 = 531441

27 x 9 x 2187 = 531441

3 x 81 x 2187 = 531441

27 x 81 x 243 = 531441

Analisemos, ainda as nove primeiras potências de base 4:

Neste caso volta a haver um produto mágico, de valor 4¹², isto é 16777216.

Como exploração extra poder-se-ia substituir a base destas potências pelo quadrado de dois, o que daria a seguinte nova figura:

Tirando partido desta substituição, poder-se-ia introduzir ou rever o conceito de potência de uma potência, destacando a regra operativa de manter a base e multiplicar os expoentes. Eis como figura a figura mágica:

Logo, o produto mágico 4¹² será equivalente ao valor da potência 2²⁴.

A Matemática nos truques de cartas

Uma das actividades que costuma ter mais impacto em contexto de matemática recreativa é a que recorre a um normal baralho de cartas. Este objecto lúdico possibilita a criação de cenários de magia matemática, permitindo que um qualquer "mago", mais ou menos experiente na arte da prestigiditação possa deslumbrar os seus interlocutores.

Por norma, quando um bom truque tem êxito junto de uma audiência, esta sente uma curiosidade imediata em pretender saber a causa ou a razão do seu sucesso. Ora, muitas vezes a causa tem a sua origem na Matemática. O exemplo que apresento a seguir dá conta da importância da Matemática nessa área da magia com cartas:

Colocam-se 21 cartas viradas para cima em três montes de 7 cartas cada um. De seguida escolhe-se uma dessas cartas, revelando-se apenas o monte a que ela pertence. O "mago" coloca o monte onde está essa carta no meio dos outros dois montes e de seguida volta a dispor as 21 cartas em três montes com 7 cada. Este pergunta ao seu interlocutor em que monte se encontra a carta por si escolhida. Após resposta deste, o "mago" volta a colocar o monte das cartas, onde está a seleccionada, no meio dos outros dois montes e repete uma última vez o processo, isto é, volta a dispor as cartas em três montes e volta a perguntar em que monte se encontra a carta seleccionada pelo seu interlocutor. Após ouvida a resposta, volta a colocar o monte a que pertence esta carta no meio dos outros dois montes. Vira as cartas para baixo e faz sair uma carta por cada letra da seguinte frase, que vai dizendo em voz alta: "É esta a carta". A última carta a ser saída será a carta seleccionada pelo seu interlocutor.

Experimente esta tarefa várias vezes e tente encontrar uma explicação para o ocorrido.

Este fascinante truque de cartas tem uma explicação de natureza matemática. Em contexto de sala de aula os alunos deveriam encará-lo como sendo uma tarefa de investigação, de modo a descobrirem a causa da sua ocorrência. Assim, a figura seguinte visa evidenciar uma possível explicação para este truque. Para tal vamos centrar a nossa atenção, por exemplo, no monte do meio e na primeira carta desse monte, isto é, na carta nº 8:

De seguida colocarmos o monte a que pertence a nossa carta seleccionada entre as cartas do monte A e as cartas do monte C e voltamos a distribuí-las pelos três montes de acordo com o esquema da figura seguinte:

Neste caso, a carta seleccionada ficou posicionada na terceira linha da coluna B. Ora, voltamos a colocar este monte de cartas entre o monte de cartas A e o monte de cartas C. Ao distribuí-las pela última vez, e de acordo com o mesmo critério anterior, eis onde fica posicionada a nossa carta:

Verifica-se que a carta seleccionada ficou posicionada na quarta linha do monte A. Então, para se revelar a carta junto do nosso interlocutor, o que há a fazer e colocar o monte da carta seleccionada entre o monte C e o monte B. Ao fazermos isto, virando as cartas para baixo, a carta seleccionada, e mantida em segredo, será descoberta ao dizer-se a última letra da seguinte frase: "É esta a carta".

Este é, pois, um possível estudo para o caso de a carta seleccionada ser a primeira do monte central, isto é, a oitava carta. Como será a solução no caso e a carta a seleccionar ser a segunda do monte central, isto é, a 9ª carta?

A tabela seguinte evidencia cada movimento das cartas, bem como o poscionamento da carta seleccionada:

Início	Após voltar as distribuir as cartas	Após voltar a distribuir as cartas

Note-se a curiosidade de a carta escolhida desta vez voltar a ficar posicionada no mesmo local da carta seleccionada da primeira vez. Será sempre assim com as restantes cartas deste monte central?

A tabela seguinte visa evidenciar o estudo feito para as cinco restantes cartas deste monte:

Início	Após voltar a distribuir as cartas	Após voltar a distribuir as cartas

Analisando-se a tabela anterior constata-se que o posicionamento final para as cartas 10, 11  e 12 é sempre o mesmo, mas diferente dos dois casos anteriormente analisados. Nestes três últimos casos, as cartas ficam posicionadas no monte B, ainda que na quarta linha do monte, como anteriormente se havia verificado.

Já as duas últimas cartas do monte central, a 13ª e a 14ª cartas, mudam de monte na posição final, pois passam para o monte C, mas também se mantêm na quarta linha do respectivo monte.

Em síntese, relativamente ao monte central, independentemente da carta que inicialmente se seleccione, no final ocupará a quarta linha do monte a vier fazer parte. Ao colocar-se este monte no meio dos outros dois ficará sempre com que a carta seleccionada fique a ocupar a posição 11, precisamente o número de letra da frase "É esta a carta".

O que acontecerá se a carta inicialmente seleccionada for uma das sete cartas do monte A ou do C? Faça o respectivo estudo e retire conclusões.

Um truque bem mais simples é o que apresento a seguir, adaptado da obra de Joe Fullman (2009)*:

"Pedir a um interlocutor para dividir um normal baralho de 52 cartas em dois montes. De seguida deve fixar a última carta de um dos montes, mantendo-a em segredo. O realizador do truque deve colocar o monte desta carta sobre o outro, ambos voltados para baixo. Em continuação, o interlocutor é convidado a distribuir as cartas, uma a uma, voltadas para baixo, formando quatro montes. Revela o monte onde está a carta seleccionada e o realizador do truque coloca o respectivo monte sobre os três restantes montes, todos voltados para baixo. Ao terminar de referir a palavra mágica "ACERTEI", retirando uma carta por cada letra dita,  estará a mostrar a carta seleccionada pelo seu interlocutor"

* - Fullman, J. (2009). Grande Livro de Truques de Magia. Sintra: Girassol.

Qual a explicação para o truque acabado de descrever?

Revisão da primeira aula sobre forma trigonométrica de número complexo-3º ano

Revisão da primeira aula sobre funções - 1º ano

LISTAS DE EXERCICIO

LISTA DE REVISÃO : (POLINÔMIOS E NÚMEROS COMPLEXOS)

http://www.4shared.com/document/jOvCdvfi/1BIM-3ano-RECUPERAO.html?

LISTA DE REVISÃO: ( CONJUNTOS E EQUAÇÃO DO 2º GRAU)
http://www.4shared.com/document/36RN2k4K/1BIM-1ano-RECUPERAO.html?

Aula 3

http://www.mais.mat.br/wiki/Página_principal

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